2. 다양한 행렬

딴영 2025. 5. 25. 00:15

1. 전치 행렬(Transpose Matrix)

전치 행렬이란 행과 열을 서로 바꾼 행렬입니다. 행렬 $ \mathbf{A} $의 전치 행렬은 보통 $ \mathbf{A}^T $로 표기합니다.

$$ \mathbf{A}=\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
\end{bmatrix} $$

위와 같이 생긴 행렬이 있다고 했을 때, $ \mathbf{A} $ 의 전치 행렬인 $ \mathbf{A}^T $은 다음과 같습니다.

$$ \mathbf{A}^T =\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \\
\end{bmatrix} $$

전치행렬은 다음과 같은 성질을 가지고 있습니다.

$ \mathbf{A}^T = \mathbf{A} $
- 전치행렬을 전치하면 원래의 행렬로 돌아옵니다.
$ \mathbf{(A+B)}^T = \mathbf{A}^T+\mathbf{B}^T $
- 행렬합을 하고 전치를 한 것과 전치를 하고 합을 진행하는 값은 같습니다.
$ (k \mathbf{A})^T = k \mathbf{A}^T $
- 스칼라배를 하고 전치를 한 것과 전치를 하고 스칼라 배를 한 값은 같습니다.
$ \mathbf{(AB)}^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T $
- 행렬 곱을 전치할 때는 위치가 바뀝니다.

대칭행렬은 전치해도 자기 자신과 같은 행렬을 의미합니다.

기호로 표현하면 $ \mathbf{A}= \mathbf{A}^T $가 됩니다.

이를 만족하려면 반드시 정사각 행렬이 되어야 합니다.

$$ \mathbf{A}=\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
2 & 4 \\
\end{bmatrix} $$

$ \mathbf{A} $와 $ \mathbf{A}^T $가 같기 때문에, 행렬 $ \mathbf{A} $ 는 대칭 행렬입니다.

대칭 행렬의 성질은 다음과 같습니다.

대각 행렬은 주대각선을 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬입니다.

$$ \mathbf{A}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 4 \\
\end{bmatrix} $$

단위 행렬은 대각선이 모두 1, 나머지는 0인 대각 행렬입니다.
곱셈의 항등원 역할을 합니다: $ \mathbf{A\times I}= \mathbf{A} $

$$ \mathbf{I}=\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{bmatrix} $$